Elemente des Quantencomputing Teil 2: Quantenüberlagerung

Überlagerung: eine Definition

Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem klassischen Bit und einem Quantenbit (Qubit) ist die Fähigkeit des Qubits, in Überlagerungszuständen zu existieren. Mit anderen Worten, ein Qubit kann in einer linearen Kombination von Basiszuständen |0⟩ und |1⟩ existieren, die wir auch als Computational Basis States bezeichnen. Ein allgemeiner Qubit-Zustand kann also ausgedrückt werden als |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, was eine Superposition von ∣0⟩ und ∣1⟩ mit komplexen Amplituden α und β ist.

_{Herkömmliche Computer verwenden Bits, die entweder 0 oder 1 sein können, aber nicht beides auf einmal. Quantencomputer hingegen verwenden Qubits, die sich in einer linearen Kombination von 0 und 1 befinden können, ein Phänomen, das als ‘Superposition’ bekannt ist. Im Gegensatz zu Bits können Qubits überall auf einer Kugel existieren, wie in der Abbildung oben gezeigt.}

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩,

die eine Überlagerung von ∣0⟩ und ∣1⟩ mit komplexen Amplituden α und β ist.

Wenn sich ein größeres Quantensystem, das aus mehreren Qubits besteht, in einer Superposition |ψ >= _α1∣000…0⟩ + _α2∣000…1⟩ + … + _α2^n∣111…1⟩ seiner zusammengesetzten Basiszustände befindet, kann es Berechnungen mit allen möglichen Kombinationen seiner Qubits auf einmal durchführen. Infolgedessen können Quantencomputer viele Möglichkeiten parallel verarbeiten und potenziell bestimmte Arten von Problemen viel effizienter lösen als klassische Computer. Dies wird im Shor-Algorithmus deutlich, wo der Speedup durch die Anwendung der Quanten-Fourier-Transformation zustande kommt, die ein wesentlicher Bestandteil des Algorithmus ist und das Prinzip der Superposition nutzt.

Überlagerungsnotation & Messung

Im Gegensatz zur klassischen Physik wird das Ergebnis einer Messung in der Quantenmechanik von Wahrscheinlichkeiten und von Zufälligkeit bestimmt. Das bedeutet, dass man für ein Qubit im Zustand der Superposition nur die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse wiederholter Messungen an einer großen Anzahl von Kopien desselben Qubits vorhersagen kann. Das Messergebnis einer einzelnen Messung ist jedoch völlig zufällig und kann entweder |0⟩ oder |1⟩ sein. Dies ist auch der Grund, warum wir beim Quantencomputing derzeit mehrere so genannte Shots oder Ausführungen desselben Schaltkreises durchführen müssen, um ein aussagekräftiges Ergebnis zu erhalten. Wir werden uns später in einem anderen Blog-Artikel eingehender mit Quantenschaltungen beschäftigen.

Wenn Sie ein Qubit messen, kollabiert die Superposition in einen der Basiszustände, die der jeweiligen Basis entsprechen, in der wir messen (im Allgemeinen die Computational Basis |0⟩ und |1⟩).

Betrachten wir ein Qubit im allgemeinen Überlagerungszustand von oben, dargestellt als |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, wobei α und β komplexe Zahlen sind. Wie in unserem Artikel “Von Bits zu Qubits” erwähnt, sind die Wahrscheinlichkeiten der Messung von |0⟩ oder |1⟩ durch die Quadrate der absoluten Werte von α bzw. β gegeben. Das heißt, P(0) = |α|^2 und P(1) = |β|^2.

Wir können das Qubit jedoch auch in Bezug auf jede andere Basis messen, z.B. |+⟩ = 1/√2|0⟩ + 1/√2|1⟩ und |-⟩ = 1/√2|0⟩ – 1/√2|1⟩, und die Wahrscheinlichkeiten, eines der beiden Ergebnisse, |+⟩ oder |-⟩, als Ergebnis der Messung zu erhalten, ändern sich entsprechend. Bei einem Qubit im Überlagerungszustand (|ψ⟩ = 1/√2|0⟩ + 1/√2|1⟩) sind beispielsweise die Wahrscheinlichkeiten für die Messung von |0⟩ oder |1⟩ beide P(0)=P(1)=50%, wenn wir in der Computational Basis messen, die Wahrscheinlichkeit der Messung in der Basis |+⟩, |-⟩ ist jedoch P(+) = 100% und P(-) = 0%.

Es ist wichtig, eine echte Quantensuperposition nicht mit einem probabilistischen klassischen Zustand zu verwechseln, wie z. B. einer geworfenen Münze. Die Physik der geworfenen Münze ist im Wesentlichen deterministisch, und die Wahrscheinlichkeit, dass jeweils Kopf oder Zahl aufkommt, beträgt nur deshalb 50 %, da uns die Parameter wie z. B. der Wurfwinkel, die Wurfgeschwindigkeit usw. nicht bekannt sind. Diese Parameter können jedoch prinzipiell bekannt sein, und wenn wir alle Anfangsparameter der Münze zum Zeitpunkt des Wurfs kennen würden, könnten wir (unter Anwendung der Gesetze der klassischen Physik) vorhersagen, zu welchem Zeitpunkt des Wurfs die Münze Kopf oder Zahl zeigen würde.

Für das Qubit in einer echten Quantensuperposition ist das Ergebnis einer einzelnen Messung jedoch völlig zufällig, selbst wenn wir alle Parameter kennen, die wir über den Zustand des Qubits wissen können. Wir können die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse nur für wiederholte Messungen an einer großen Anzahl von Kopien des Qubits ableiten.

Überlagerung auf der Bloch-Sphäre

Die Bloch-Sphäre visualisiert Quantenzustände eines Qubits mit Hilfe einer Einheitskugel, bei der jeder Punkt einem eindeutigen Zustand entspricht – der Nordpol normalerweise für |0⟩ und der Südpol für |1⟩. Ein Überlagerungszustand eines Qubits wird visuell als Punkt auf der Oberfläche der Kugel dargestellt. Die genauen Koordinaten des Punktes repräsentieren die Wahrscheinlichkeitsamplituden der Messung jedes Zustands und die Phasendifferenz zwischen ihnen. Im Bild der Bloch-Sphäre wird der Qubit-Zustand durch zwei reelle Zahlen θ und φ parametrisiert:

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^iφ sin(θ/2)|1⟩

Wenn sich zum Beispiel ein Qubit in einem gleichwertigen Überlagerungszustand befindet (|+⟩ = 1/√2|0⟩ + 1/√2|1⟩), wird es durch einen Punkt auf dem Äquator der Bloch-Kugel dargestellt, wo θ und φ die Werte θ= und φ=0 annehmen. Wenn wir den |-⟩-Zustand auf der Bloch-Kugel abbilden wollen, wären die Werte θ=π/2 und φ=π.

Referenzen:

[1] Nielsen, Michael A., and Isaac L. Chuang. 2012. “Quantum Computation and Quantum Information.” Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/cbo9780511976667.